Modelo individual estocástico em tempos discretos adaptado ao município do Rio de Janeiro

Objetivos:

• Apresentar o modelo individual estocástico em tempos discretos utilizado por grupos como Imperial/Pitt, UW/LANL e VBI.

• Discutir as adaptações feitas para o Rio de Janeiro.

• Exibir algumas simulações.

Equipe

• Professores (IM/UFRJ):
  • Amaury Alvarez Cruz (DCC)
  • Bernardo Freitas Paulo da Costa (DMA)
  • Heudson Mirandola (DM)
  • Ricardo Martins da Silva Rosa (DMA)
• Alunos de Mestrado (Matemática - IM/UFRJ):
  • Thiago Holleben
• Alunos de Graduação (Matemática Aplicada - IM/UFRJ):
  • Beatriz Farah
  • Cynthia Herkenhoff
  • Gil Sales Miranda Neto
  • Rodrigo Peregrino

Modelos baseados em indivíduos e o relatório do Imperial Colege

• O Relatório do Imperial College de 16 de março influenciou ações políticas no Reino Unido e no mundo.

• Produzido pelo Grupo de Resposta sobre o COVID-19 do Imperial College (Imperial College COVID-19 Response Team).

• Apresenta resultados da modelagem epidemiológica incluindo intervenções não-farmaceuticas (e.g. sem vacinação), como distanciamento social e quarentena.

• Modelos do tipo individual, estocástico, espacialmente estruturado e com evolução temporal discreta.

• Modelo usado por diversos grupos em um estudo após a epidemia de SARS (2002-2004):

  • Imperial College and the University of Pittsburgh (Imperial/Pitt).

  • University of Washington and Fred Hutchinson Cancer Research Center in Seattle and the Los Alamos National Laboratories (UW/LANL).

  • Virginia Bioinformatics Institute of the Virginia Polytechnical Institute and State University (VBI).

A importância da estrutura da rede de conexões

• A figura a seguir, retirada do livro Kiss, Miller & Simon (2017), mostra a importância da estrutura da rede conexões na evolução da epidemia.

Image(filename=os.path.join('..', 'input', 'networks', 'SIR_on_different_networks.jpg'), width=800)

Estrutura do modelo

• O modelo é heterogêno, considerando particularidades de cada indivíduo e de cada área da região.

• Cada indivíduo está associada a diversas redes de interação:

  • residências
  • escolas de diferentes níveis
  • trabalho
  • encontros aleatórios com a população em geral
  • etc.

• O modelo evolui de maneira probabilística e em tempos discretos (e.g. 6 horas, 12 horas, 1 dia, etc.).

Exemplo: simulação de epidemia na Tailândia

• A seguir, dois vídeos retirados das informações suplementares do artigo de Ferguson et al. (2005), sobre estratégias para conter pandemias de influenza na sudeste asiático.

• Observem que eles já estavam pensando nesses estratégias!

• Vieram motivadas pela epidemia de SARS que apareceu no final de 2002 e só foi considerada contida em meados de 2003, com vários casos ocorrendo até o iníco de 2004.

• Simulação com 85 milhões de indivíduos!

• A primeira, sem estratégia de contenção da epidemia.

• A segunda, com estratégia, bem sucedida.

Sem estratégia

• $R_0=1.5$.

• Video mostra 100 dias de evolução.

• Cores:

  • Cinza: densidade de suscetíveis em escala logarítmica
  • Vermelho: áreas infectadas
  • Verde: áreas recuperadas
  • Azul: áreas em tratamento

show_video(os.path.join('..', 'input', 'networks', '41586_2005_BFnature04017_MOESM2_ESM.mp4'), '50%')

Estratégia bem sucedida

• $R_0=1.8$;

• Estratégia implementada na Tailândia e em parte dos países vizinhaça, dentro de um raio de 100km da Tailândia.

• Distanciamento social

• Quarentena de casos detectados

• Profilaxia em um raio de 5km radial de casos dectados

• Fechamento de 90% de escolas e de 50% dos lugares de trabalho, em um raio de 5km.

• Video mostra 300 dias de evolução.

• Cores:

  • Cinza: densidade de suscetíveis em escala logarítmica
  • Vermelho: áreas infectadas
  • Verde: áreas recuperadas
  • Azul: áreas em tratamento

show_video(os.path.join('..', 'input', 'networks', '41586_2005_BFnature04017_MOESM3_ESM.mp4'), '80%')

Detalhes do modelo

• Há duas partes que devemos considerar:

  • Os diferentes estágios da infecção (suscetível, exposto, contagioso, recuperado, etc.)

  • Os diferentes locais de contágio (na residência, na escola, no trabalho, na rua, etc.)

• Os diferentes grupos (Imperial/Pitt, UW/LANL, VBI) tratam essas partes de maneiras ligeiramente diferentes:

  • Em relação às redes de contato:

rede	Imperial	UW	VBI
Home	+	+	+
Work	+	+	+
School	+	+	+
Day care		+
Play group		+
College			+
Shopping			+
Neighborhood		+
Neighborhood clusters		+
Other/Community	+		+

Sobre os estágios da infecção

Image(filename=os.path.join('..', 'input', 'modelos_individuais',
                            'Germann_SupportingText_01266Fig3b.jpg'), width=800)

Sobre o período de incubação e a força de contágio durante a infecção

Image(filename=os.path.join('..', 'input', 'modelos_individuais',
                            '41586_2006_BFnature04795_MOESM28_ESM_FigureS18.png'), width=800)

Parâmetros e dinâmica do modelo

• Há um índice $i$ representando cada indivíduo da população.

• Há um determinado número de residências onde os indivíduos habitam

• Há diferentes tipos de locais de interação, como escolas e trabalhos

• Cada indivíduo tem associado

  • a sua idade

  • a sua residência

  • o seu local de estudo/trabalho

  • o seu estágio no processo de infecção.

  • o grau da infecção

  • o instante em que foi infectado

  • uma modulação em sua suscetibilidade a ser infectado

  • a sua força de contágio

Força de infecção

A força de infecção $\lambda_i$ de cada indivíduo é dada por

$$ \begin{align*} \lambda_i & = \frac{1}{n_i^\alpha}\sum_{k; h_k = h_i} I_k \beta_h\kappa(t-\tau_k)\rho_k(1 + C_k (\omega-1)) \quad \textrm{(na residência)} \\ & \quad + \sum_{j, k; l_k^j = l_i^j} \frac{I_k \beta_p^j\kappa(t-\tau_k)\rho_k(1 + C_k(\omega\psi_p^j(t-\tau_\kappa)-1)}{m_i^j} \quad \textrm{(na local de escola/trabalho)} \\ & \quad + \frac{\sum_k I_k\zeta(a_i)\beta_c\kappa(t-\tau_k)f(d_{ik})\rho_k(1 + C_k (\omega-1))}{\sum_l f(d_{il})} \quad \textrm{(global)}, \end{align*} $$

onde

• $i, k$ são índices de indivíduos;

• $j$ é um índice de local;

• $\beta_h$, $\beta_p^j$ e $\beta_c$ são coeficientes de transmissão em residências, locais de trabalho/escola e em toda a região (rede global);

• $\alpha=0.8$ é uma potência para escalonar em função do tamanho da residência;

• $\omega=2$ é um fator de contágio para infecções severas, em relação a não-severas.

• $\kappa=\kappa(s)$ é uma função temporal modulando a força de infecção

• $\psi_p^j = \psi_p^j(s) = 0.1, 0.2, 0.25, 0.5$, para $j=1,2,3,4$ e $s>0.25 \;\texttt{dias}$, e $\psi_p^j=0$, caso contrário, são os fatores de taxa de contato, em cada tipo de local, para infecções severas, como função do tempo $s=t-\tau$ desde o início do contágio, refletindo ao grau de ausência do indivíduo no local.

• $f(d_{ik})$ é o núcleo de distância e $d_{ik}$ é a distância euclidiana entre os indivíduos $i$ e $k$.

• $\zeta(a_i)$ é a taxa relativa de contato em relação à mobilidade de um indivíduo com idade $a_i$.

• $\rho_k = 1$ é a taxa relativa de infecção do indivíduo $k$. (Mais geralmente $\rho_k$ pode ser dado por uma distribuição gama com média $1$ e fator de forma $\alpha=0.2$.)

Montando um cenário reduzido do Rio de Janeiro

tx_reducao = 100
cenario_rio = episiming.cenarios.RiodeJaneiro(tx_reducao)
print(f'População do cenário reduzido: {cenario_rio.num_pop}\n')

População do cenário reduzido: 67973

Visualizando o cenário

Visualizando a população

x, y = cenario_rio.pop_posicoes.T
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.scatter(x, y, s=4)
plt.title(f'Posição dos {cenario_rio.num_pop} indivíduos da população', fontsize=16)
plt.show()

Pirâmide etária

plt.figure(figsize=(12,5))
plt.hist(cenario_rio.pop_idades, bins = list(range(cenario_rio.idade_max+1)), color='tab:orange', label='pirâmide obtida')
plt.step(list(range(1, cenario_rio.idade_max+1)), cenario_rio.num_pop*cenario_rio.idades_fracoes, label='pirâmide segundo censo')
plt.xlabel('idade', fontsize=14)
plt.ylabel('população', fontsize=14)
plt.title(f'Pirâmide populacional obtida para {cenario_rio.num_pop} indivíduos, em comparação com a pirâmide etária', fontsize=16)
plt.legend(fontsize=12)
plt.show()

Distribuição das escolas municipais

plt.figure(figsize=(16,6))
plt.imshow(cenario_rio.dist_escolas, cmap='Blues', interpolation='none')
plt.colorbar()
plt.grid(False)
plt.title(f'Distribuição das {int(cenario_rio.dist_escolas.sum())} escolas municipais', fontsize=16)
plt.show()

Posição dos alunos

plt.figure(figsize=(12,6))
n = 0
for escola in cenario_rio.escolas:
    x, y = cenario_rio.pop_posicoes[escola].T
    plt.scatter(x, y, s=6)
    n += len(escola)
    
plt.title(f'Posição dos {n} alunos, coloridos por escola', fontsize=16)
plt.show()

Distribuição dos locais de trabalho

plt.figure(figsize=(16,6))
plt.imshow(cenario_rio.emp_por_bloco, cmap='Blues', interpolation='none')
plt.colorbar()
plt.grid(False)
plt.title(f'Distribuição das {cenario_rio.emp_por_bloco.sum()} empresas', fontsize=16)
plt.show()

Posição dos indivíduos alocados nas empresas

plt.figure(figsize=(12,6))
n = 0
for membros in cenario_rio.emp_membros:
    x, y = cenario_rio.pop_posicoes[membros].T
    plt.scatter(x, y, s=6)
    n += len(membros)
    
plt.title(f'Posição dos {n} indivíduos alocados nas {cenario_rio.emp_por_bloco.sum()} empresas, '
          + 'coloridos por empresa', fontsize=16)
plt.show()

Redes

Rede residencial

plt.figure(figsize=(12,6))
nx.draw(cenario_rio.G_r, pos=cenario_rio.attr_pos, node_size=1, alpha=0.5)
plt.title('Rede residencial', fontsize=16)
plt.show()

Rede da primeira escola da lista

j = 0
plt.figure(figsize=(12,6))
nx.draw(cenario_rio.G_esc.subgraph(tuple(cenario_rio.escolas[j])),
        pos=cenario_rio.attr_pos, node_size=1, alpha=0.1)
x, y = cenario_rio.pop_posicoes.T
plt.scatter(x, y, color='tab:blue', s=1)
x_s, y_s = cenario_rio.pop_posicoes[cenario_rio.escolas[j]].T
plt.scatter(x_s, y_s, color = 'tab:orange', s=20)
plt.title('Rede de alunos da primeira escola da lista', fontsize=16)
plt.show()

Rede da última empresa da lista

j = -1
plt.figure(figsize=(12,6))
nx.draw(cenario_rio.G_emp.subgraph(tuple(cenario_rio.emp_membros[j])),
        pos=cenario_rio.attr_pos, node_size=1, alpha=0.1)
x, y = cenario_rio.pop_posicoes.T
plt.scatter(x, y, color='tab:blue', s=1)
x_e, y_e = cenario_rio.pop_posicoes[cenario_rio.emp_membros[j]].T
plt.scatter(x_e, y_e, color = 'tab:orange', s=50)
plt.title('Rede de indivíduos da primeira empresa da lista', fontsize=16)
plt.show()

Simulações

Montando um cenário mais reduzido do Rio de Janeiro

tx_reducao = 1000
cenario_rio = episiming.cenarios.RiodeJaneiro(tx_reducao)
print(f'População do cenário reduzido: {cenario_rio.num_pop}\n')

População do cenário reduzido: 6333

Dados temporais para as simulações

dt = 1 # passo de tempo
t_0 = 0 # instante initial
num_dt = 80 # número de passos
dados_temporais = [t_0, dt, num_dt] # instantes de tempo

Parâmetros de base

num_infectados_0_base = 20 # número inicial de infectados
beta_r_base = 0.5 # taxa de contágio nas residências
beta_esc_base = 0.4 # taxa de contágio nas escolas
beta_emp_base = 0.2 # taxa de contágio no trabalho
beta_c_base = 0.2 # taxa de contágio na comunidade
gamma_base = 0.1 # inverso do tempo de recuperação

Simulação com os parâmetros de base

num_infectados_0 = num_infectados_0_base
beta_r = beta_r_base
beta_esc = beta_esc_base
beta_emp = beta_emp_base
beta_c = beta_c_base
gamma = gamma_base

cenario_rio.inicializa_infeccao(num_infectados_0, beta_r, beta_esc, beta_emp, beta_c,
                                gamma)

num_sim = 5 # número de simulações
X = cenario_rio.evolui_jit(dados_temporais, num_sim, show='sd')

Simulação com parâmetros anulando contato nas escolas

num_infectados_0 = num_infectados_0_base
beta_r = beta_r_base
beta_esc = 0*beta_esc_base
beta_emp = beta_emp_base
beta_c = 0.8*beta_c_base
gamma = gamma_base

cenario_rio.inicializa_infeccao(num_infectados_0, beta_r, beta_esc, beta_emp, beta_c, gamma)

num_sim = 5 # número de simulações
X_esc_0 = cenario_rio.evolui_jit(dados_temporais, num_sim, show='sd')

Simulação com parâmetros diminuindo contato nas empresas e comércio

num_infectados_0 = num_infectados_0_base
beta_r = beta_r_base
beta_esc = beta_esc_base
beta_emp = 0.5*beta_emp_base
beta_c = 0.5*beta_c_base
gamma = gamma_base

cenario_rio.inicializa_infeccao(num_infectados_0, beta_r, beta_esc, beta_emp, beta_c, gamma)

num_sim = 5 # número de simulações
X_ec = cenario_rio.evolui_jit(dados_temporais, num_sim, show='sd')

Simulação com parâmetros diminuindo contatos em geral

num_infectados_0 = num_infectados_0_base
beta_r = beta_r_base
beta_esc = 0*beta_esc_base
beta_emp = 0.4*beta_emp_base
beta_c = 0.4*beta_c_base
gamma = gamma_base

cenario_rio.inicializa_infeccao(num_infectados_0, beta_r, beta_esc, beta_emp, beta_c, gamma)

num_sim = 5 # número de simulações
X_g = cenario_rio.evolui_jit(dados_temporais, num_sim, show='sd')

Comparação

# inicializa a figura
plt.figure(figsize=(15,6))

# traça os gráficos
plt.plot(X.tempos, X.I_medio, label='sem intervenção')
plt.plot(X_esc_0.tempos, X_esc_0.I_medio, label='escolas fechadas')
plt.plot(X_ec.tempos, X_ec.I_medio, label='empresas e comércio reduzidos')
plt.plot(X_g.tempos, X_g.I_medio, label='escolas fechadas, empresas e comércio reduzidos')

# informações para o gráfico
plt.xlabel('dias', fontsize=14)
plt.ylabel('número de indivíduos', fontsize=14)
plt.title('Evolução do número médio de infectados',
          fontsize=16)
plt.legend(loc='best', fontsize=12)

# exibe a figura
plt.show()